Estructuras Algebraicas

Capítulo 1. Grupos y Subgrupos

La teoría de grupos, como todas las ramas del álgebra contemporánea, estudia ciertos objetos matemáticos llamados grupos, así como las relaciones entre estos objetos, llamadas homomorfismos. Podríamos justificar el estudio de la teoría de los grupos diciendo que los conjuntos son para la matemática como los grupos son para el álgebra. En este primer capítulo pretendemos dar la definición axiomática de la estructura abstracta de grupo y ver algunos conjuntos estructurados como grupos. Se estudiará la noción de subgrupo y se demostrará un teorema de gran imortancia dentro de la teoría de grupos finitos como es el teorema de Lagrange. El capítulo pretende dar una visión general de los problemas elementales que generalmente se estudian en grupos: Los subgrupos y sus propiedades, el orden del grupo, o sea la cantidad de elementos que posee, y además, el estudio de los homomorfismos como herramienta para estudiar grupos.

• Leyes de Composición
• Definición y Ejemplos | Versión LaTeX
• Propiedades y Estructuras Elementales | Versión LaTeX
• Ejercicios | Versión LaTeX
• Grupos
• Concepto | Versión LaTeX
• Propiedades Básicas | Versión LaTeX
• Más Ejemplos sobre Grupos | Versión LaTeX
• Ejercicios | Versión LaTeX
• Subgrupos
• Teoría | Versión LaTeX
• Cíclicos | Versión LaTeX
• El Grupo Z | Versión LaTeX
• Generación de Subgrupos | Versión LaTeX
• Ejemplos | Versión LaTeX
• Más Sobre Generación | Versión LaTeX
• Teorema de Lagrange | Versión LaTeX
• Ejercicios | Versión LaTeX

Capítulo 2. Grupos Cíclicos

Importante rama dentro de la teoría de grupos la constituyen los llamados grupos abelianos. Quizá los grupos abelianos más importantes son los llamados grupos cíclicos, ya que los grupos abelianos finitamente generados son expresables a través de sumas directas de grupos cíclicos. En este capítulo nos limitaremos a mostrar las propiedades básicas de los grupos cíclicos finitos. Se establecerá la relación que guardan los conceptos de período de un elemento y orden. Para grupos cíclicos finitos son demostradas algunas proposiciones relacionadas con el orden de sus subgrupos y el número de generadores de dichos grupos. Al final del capítulo hemos incluido una serie de ejercicios donde se estudian algunas aplicaciones de los grupos cíclicos a teoría elemental de números.

• Definición | Versión LaTeX
• Orden y Período|
• Concepto | Versión LaTeX
• Ejemplos | Versión LaTeX
• Propiedades | Versión LaTeX
• Teorema | Versión LaTeX
• Ejercicios | Versión LaTeX

Capítulo 3. Subgrupos Normales y Homomorfismos

El objetivo central de este capítulo es mostrar la estrecha relación que guardan los conceptos de subgrupo normal y homomorfismo de grupos. Será demostrado que, salvo isomorfismo, hay tantos subgrupos normales en un grupo G como imágenes homomórficas tiene este último. El concepto de grupos isomórficos permite, entre otras cosas, clasificar los grupos cíclicos: los infintos que son isomórficos a <Z,+>, y los finitos de orden n que son isomórficos a <Zn,+>. Dentro de los ejercicios hemos incluído un grupo muy importante como es el grupo óctico correspondiente a las 8 simetrías del cuadrado.

• Subgrupo Normal | Versión LaTeX
• Grupo Cociente
• Concepto | Versión LaTeX
• Ejercicios | Versión LaTeX
• Homomorfismos de Grupos
• Concepto | Versión LaTeX
• Grupos cíclicos | Versión LaTeX

Capítulo 4. Homomorfismo e Isomorfismo

El concepto de homomorfismo e isomorfismo, así com o los teoremas correspondientes, son el objeto del presente capítulo. Por medios de estos teoreams se pueden caracterizar las imágenes homomórficas de un grupo, y son herramienta clave para la clasificación de grupos, en particular, para la clasificación de grupos finitos.

• Teorema Fundamental | Versión LaTeX
• Teorema de Factorización | Versión LaTeX
• Teorema de Correspondencia | Versión LaTeX
• Teorema de Isomorfismo | Versión LaTeX
• Ejercicios | Versión LaTeX

Capítulo 5. Automorfismos

Los homomorfismos biyectivos de un grupo G en si mismo se conocen como los automorfismos de G. Estas funciones conforman un grupo que tiene información importante relativa sobre grupo G.

• Automorfismos Interiores | Versión LaTeX
• Teorema de Cayley | Versión LaTeX
• Ejemplos | Versión LaTeX
• Ejercicios | Versión LaTeX

Capítulo 6. Grupos de Permutaciones

En el capítulo anterior se probó que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo de permutaciones S(G). Cuando G={x1,...,xn} es un grupo finito, el grupo de permutaciones se acostumbra a denotar Sn. En este caso los elementos x1,...,xn pueden ser reemplazados por los naturales 1,...,n. Así pues, Sn es el grupo de todas las funciones biyectivas del conjunto In={1,2,...,n}.

En este capítulo estudiaremos con algún detalle al grupo Sn, denominado también grupo simétrico de grado n. Destacamos en Sn algunos subgrupos importantes: el grupo alternante An y el grupo dihédrico de grado n, Dn.

Ciclos

• Concepto | Versión LaTeX
• Teorema | Versión LaTeX
• Grupo Alternante An | Versión LaTeX

Sistemas de Generadores | Versión LaTeX
Grupo Dihédrico | Versión LaTeX
Subgrupos Normales del Grupo Dn | Versión LaTeX
Ejercicios | Versión LaTeX

Capítulo 7. Productos y Sumas Directas

El objetivo de este capítulo es presentar la construcción del grupo producto cartesiano y su suma directa externa para una familia dada de grupos. Se hace especial énfasis en el caso infinito demostrando en este caso las propiedades de universalidad. Se da además la definición de suma directa interna de una familia de subgrupos de un grupo dado, mostrando la relación que ésta guarda con las sumas directas externas. Las construcciones presentadas aquí servirán como base teórica para iniciar en el Capítulo 10 el estudio de los grupos abelianos finitos.

• Producto Cartesiano: Caso Finito | Versión LaTeX
• Producto Cartesiano: Caso Infinito | Versión LaTeX
• Suma Directa Externa | Versión LaTeX
• Suma Directa Interna | Versión LaTeX
• Ejercicios | Versión LaTeX

Capítulo 8. G-Conjuntos

Como fundamento teórico de la demostración de los teoremas de Sylow aparece el concepto de acción de un grupo sobre un conjunto. Este concepto tiene bastante analogia con el de de operación binaria externa. En este capítulo será tratado el concepto de acción sobre conjuntos. Se estudiará en particular la acción de conjugación. Además, serán definidos los grupos transitivos del grupo simétrico Sn.

De vital importancia para la demostración de los teoremas de Sylow es la ecuación de clases, la cual estableceremos en este capítulo. Un tratamiento completo de los G-conjuntos nos llevará a la teoria de los espacios vectoriales y módulos sobre anillos.

Nosotros nos limitaremos a utilizar los G-conjuntos como lenguaje y herramienta para comprender mejor la teoria de Sylow.

• Acción de Grupos Sobre Conjuntos | Versión LaTeX
• Orbitas y Subgrupos Estacionarios | Versión LaTeX
• Grupos Transitivos | Versión LaTeX

Capítulo 9. Teoremas De Sylow

De fundamental importancia para el estudio de los grupos finitos son los teoremas probados por el matemático noruego Ludwig Sylow.

Es conocido que para los grupos cíclicos finitos es válido el recíproco del teorema de Lagrange, es decir, si G un grupo cíclico finito de orden n y m divide a n entonces G contiene exactamente un subgrupo de orden m. En este capítulo se mostrara que la afirmación anterior es válida para grupos finitos cualesquiera pero siendo m potenciade un primo. Además, la unicidad se dá salvo conjugación. Los resultados de este capítulo ayudaran a describir en el próximo los grupos abelianos finitos.

p-Grupos

• Teoría | Versión LaTeX
• Ejemplos | Versión LaTeX

Los Teoremas de Sylow

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• Teoremas | Versión LaTeX

Aplicaciones | Versión LaTeX
Ejercicios | Versión LaTeX

Capítulo 10. Grupos Abelianos Finitos

El objetivo central de este capítulo es describir para un entero positivo n dado todos los grupos abelianos de orden n (salvo isomorfismo). La descripción se hará en términos de p-grupos cíclicos los cuales como se verán son indescomponibles. Se establecerá además un criterio para la unicidad de dicha descomposición.

• p-Grupos Abelianos Finitos | Versión LaTeX
• Sistema de Invariantes | Versión LaTeX
• Grupos Abelianos Finitos | Versión LaTeX
• Grupos de Orden < 16 | Versión LaTeX
• Grupos Finitamente Generados | Versión LaTeX
• Ejercicios | Versión LaTeX

Capítulo 11. Grupos Solubles

En los capítulos anteriores hemos tratado con grupos abelianos y grupos finitos. Un grupo cualquiera no está obligado a pertenecer a ninguna de estas clases, sin embargo siempre se puede relacionar de alguna manera con ellas y estudiar por este camino el grupo.

Una de las más importantes generalizaciones de la conmutatividad es la solubilidad, de la cual nos ocupamos en este capítulo.

Es importante anotar que la solubilidad en grupos está estrechamente ligada con la solubilidad en radicales de las ecuaciones algebraicas.

Además de la solubilidad, consideramos en este capítulo los conmutadores y el conmutante de un grupo.

• Centro de un Grupo | Versión LaTeX
• Conmutante de un Grupo | Versión LaTeX
• Cadenas Normales | Versión LaTeX
• Grupos Solubles | Versión LaTeX
• Ejercicios | Versión LaTeX